23.1. Armónicos esféricos. Topografía lunar.

En ciencias de la tierra frecuentemente se utilizan los armónicos esféricos para modelar distintos parámetros (topografía, geoide, campo gravitatorio/magnetométrico) a escala planetaria. En este ejemplo se muestra como crear un mapa topográfico lunar a partir de la tabla de coeficientes armónicos de Wieczorek (2015).

 

Script

 

0. Datos: 

• MoonTopo2600p.shape: Armónicos esféricos de la luna normalizados 4π hasta el orden 2600. Link zenodo.
  

1. Armónicos esféricos: Tabla de datos conformado por 4 columnas con los datos de grado (L), orden (M) y coeficientes de coseno (C) y de seno (S) hasta el grado 2600 que totalizan casi 3,4 millones de registros (3.383.901).

Nota: El grado 0 (orden 0) describe una esfera con el radio promedio lunar (1737 km).

Tabla de coeficientes de armónicos esféricos hasta el grado 5 y orden 5.

2. Elipsoide lunar: Con el siguiente comando se establece el elipsoide de luna:

gmtset PROJ_ELLIPSOID Moon

3. Crear grilla: con sph2grd se convierte la tabla de armónicos esféricos (%SPH%) en una grilla con los siguientes argumentos:

• -G%CUT%: Nombre de la grilla creada.
• -R: Región geográfica (o "selenográfica") del mapa.
• -Ng: Indica normalización geodésica de los coeficientes (suma de los productos sobre la superficie = 4π).
• -I: Resolución de la grilla creada en grados.
• -F: Filtrado de los armónicos esféricos según su grado (l) utilizados para crear la grilla.
  

gmt sph2grd -R "%SPH%" -G%CUT% -Ng -I0.25 -F1/1/1410/1440

 

Es importante seleccionar cuidadosamente un filtro para los armónicos esféricos y la resolución de la grilla.

A. Filtrado de armónicos esféricos: El filtro (-F) es opcional y puede ser del tipo Cosine band-pass (definiendo 4 parámetros) o Gaussian band-pass (2 parámetros). En los ejemplos siguientes se aplicó el Cosine band-pass.

i. Filtrar orden 0: Como el modelo corresponde a la forma de la luna, entonces si se incluye el orden 0 la grilla resultante corresponde a la distancia al centro de la luna (o radio lunar). Por lo tanto, si se filtra el grado 0, entonces se obtiene las diferencias de alturas con respecto al radio lunar promedio (el cual es utilizado como "nivel del mar" para los mapas topográficos de la luna).

gmt sph2grd -R "%SPH%" -G%CUT% -Ng -I0.25  -F0/0/710/720

 

 

ii. Filtrar ordenes mayores: El mayor grado (L) de los armónicos esféricos determina la resolución espacial (λ; detalles de los rasgos) que corresponde a grados y km respectivamente según las fórmulas:

λ grados = 180/L

λ km = Radio*π / L (que equivale a 20.000 km/L para la Tierra y 5.400 km para la Luna).

 

Filtrar las órdenes mayores es muy recomendable. Utilizar todos los armónicos puede consumir gran tiempo de procesamiento que luego pueden no observarse en la figura final. Las siguientes figuras todas tiene la misma resolución de grilla (-I0.125) pero distinta resolución espacial (a partir de distintos filtros aplicados).

 

Filtrado hasta el grado 90 (-F1/1/85/90).

Filtrado hasta el grado 180 (-F1/1/180/180).

Filtrado hasta el grado 360 (-F1/1/350/360).

Filtrado hasta el grado 90 (-F1/1/710/720).

Filtrado hasta el grado 1440 (-F1/1/1420/1440).

 

B. Resolución de la grilla: Se debe elegir cuidadosamente. Un valor grande puede resultar que la resolución espacial no se observe correctamente, hasta incluso se vea un efecto de pixelado. Un valor muy chico puede resultar en excesivos tiempos de procesamiento y con un detalle excesivo que no se observa en la figura final.

Resolución de 1 grado de arco (-I1).

Resolución de 30 minutos de arco (-I0.5).

Resolución de 15 minutos de arco (-I0.25).

Resolución de 7,5 minutos de arco (-I0.125).

 

Referencias:

• Wieczorek, Mark A. (2015). Spherical harmonic model of the shape of Earth's Moon: MoonTopo2600p [Data set]. Zenodo. http://doi.org/10.5281/zenodo.3870924 
•  Wieczorek, Mark A. Gravity and Topography of the Terrestrial Planets, Treatise on Geophysics, 2nd edition, Oxford, 153-193, doi:10.1016/B978-0-444-53802-4.00169-X, 2015.